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31/12/2006
Libro: "El camino a la realidad", de Roger Penrose - II: Capítulos 4 y 5
Continúo esta serie de comentarios sobre el libro de Roger Penrose, cuya primer artículo podeis releer aquí.
Dado que el capítulo 6 se diferencia en ámbito de los otros dos y parece iniciar una pequeña serie de capítulos dedicada al cálculo, he preferido escribir este comentario sólo respecto a los capítulos 4 y 5, dedicados al mundo mágico (no sólo para mí) de los números complejos.
Los mágicos números complejos
Del mismo modo como los números reales surgen en la mente de los matemáticos para englobar aquellas realidades que habían descubierto que los números racionales eran incapaces de cuantificar, también los matemáticos del fecundo siglo XVI vieron la necesidad de hablar de algo más amplio que los números reales, que se quedan cortos cuando se trata con las raíces (soluciones) de ciertas escuaciones.
El ejemplo clásico y pedagógico con que se nos introduce de pequeños en el curioso mundo de los complejos es la ecuación cuadrática x^2=-1 (^="elevar a"); sin embargo, los matemáticos que describieron por primera vez la raíz de -1, se la encontraban en múltiples otras situaciones, como al resolver ecuaciones cúbicas.
Penrose repasa la aritmética de los números complejos del tipo z = a + b*i, donde "i" es la unidad imaginaria, una aritmética que es tediosa y fatigante en determinados pasos porque no es la adecuada. La hacemos con números reales desplegados en una recta, cuando los números complejos residen en un plano, donde además de distancias hay giros.
En ese plano, por ejemplo, es más fácil investigar la convergencia o no (la tendencia o no hacia un número real como límite de las series de potencias, y Penrose nos muestra la vaiosa herramienta que es el círculo de convergencia e introduce una de las palabras más importantes en las matematicas complejas, los "polos".
Finalmente, nos enseña también que el conjunto de Mandelbrot [IMG] es un habitante del plano complejo: las zonas de un color corresponden a zonas donde converge la serie recurrente que lo define, y las de otro color son aquellas donde esa serie diverge.
Es un capítulo con bastantes fórmulas (todas ellas muy fáciles), pero creo que se puede recatar literariamente el siguiente párrafo:
Durante los cuatro siglos que hace que se conoce el sistema de los números complejos, muchas cualidades mágicas se han ido revelando poco a poco. Pero ésta es una magia que se percibía dentro de las matemáticas, y ofrecía realmente una utilidad y una profundidad de intuición matemática que no podía conseguirse sólo con el uso de los reales. No había ninguna razón para esperar que el mundo físico estuviera interesado en ello. Y durante los aproximadamente trescientos cincuenta años transcurridos desde la época en que dichos números fueron introducidos en las obras de Cardano y Bombelli, la magia del sistema de los números complejos sólo fue percibida a través de su papel matemático. Para todos aquellos que se habían mostrado recelosos de los números complejos habría sido sin duda una sorpresa encontrar que, según la física de los últimos tres cuartos del sigo XX, las leyes que gobiernan el comportamiento del mundo en sus escalas más minúsculas dependen fundamentalmente del sistema de los números complejos.
Geometría de logaritmos, potencias y raíces
Cuando tratamos los números complejos en su forma binómica, a base de números reales, las operaciones típicas de la aritmética fundamental se complican, pero se alcanza de nuevo la simplicidad cuando recurrimos al plano complejo.
En este capítulo, Roger Penrose nos enseña que hay más formas de describir ese par de números, como la de radio-argumento, o la de la exponencial (de Euler).
Así, la suma de números complejos tiene un sentido geométrico (al que se podría haber llegado también desde el punto de vista de los vectores libres, aunque eso es harina de otro costal)-el resultado de la suma de dos números complejos es la diagonal del paralelogramo que forman en el plano complejo), así como también la multiplicación, que consiste en una dilatación y giro sobre sí mismo del plano complejo (si mal no recuerdo, aunque seguramente esté mezclando conceptos, a lo primero se le llama "homotecia").
De hecho, si dibujamos un punto del plano complejo (un número complejo), y lo unimos al origen, se nos aparece de forma nítica la notación polar, o de radio-argumento que también soportan estos sufridos números, que además de por dos números reales, también pueden venir dados por su distancia al origen y el ángulo que los separa del eje real del plano.
La idea que subyae debajo de todo esto es poder simplificar las operaciones en el plano complejo y pasar a simples sumas y restas aunque tengamos multiplicaciones... y potencias.
En el mundo de los reales ya había una operación que hacía esa transformación: los logaritmos, que son las operaciones recíprocas de "elevar a una potencia". Penrose explica finamente la idiosincrasia multivaluada de estas operaciones cuando se realizan en el plano complejo, detalles que a lo largo de la Historia han quitado millones de puntos en los xámenes de Física y de Matemáticas de todo el mundo.
Un primer atisbo de la esencial relación entre los complejos y el mundo físico viene al final del capítulo. Si consideramos la posibles diversas raíces de 1 en el plano complejo, tienen la propiedad de que forman un "grupo cíclico": multiplicar dos de ellas nos dan otra, etc. Pues bien, ésa es una propiedad de determinados números cuánticos, los multiplicativos (recordar que en el anterior artículo hablaba de los aditivos, mucho más numerosos y conocidos, al parecer "gobernados" por los números enteros), como la paridad:
La magnitud física denominada "paridad" es un número cuántico multiplicativo (aproximado), con n=2.[...]. La noción de paridad para un sistema compuesto se construye (multiplicativamente) a partir de las paridades de sus partículas constituyentes básicas. Para una de tales partículas constituyentes, su paridad puede ser par, en cuyo caso la reflexión especular de la partícula es igual que la propia partícula (en un sentido apropiado); alternativamente, su paridad puede ser impar, en cuyo caso su reflexión especular es lo que se denomina su antipartícula.
(Eso en cuanto a la paridad intrínseca, porque si mal no recuerdo de mis años de facultad, la paridad total tiene también que ver con el momento angular...). Se dice que la paridad es un número "aproximado" porque hay determinadas reacciones nucleares (las intermediadas por la fuerza débil) que no la conservan).
Hasta la próxima reseña.
M@k, el Buscaimposibles
17:26 Anotado en Ciencia , Libros | Permalink | Comentarios (0) | Trackbacks (0) | Enviar a Email | Tags: matemáticas, realidad, mundo físico, física, números complejos, plano complejo, aritmética
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